【どうでもいい研究】トイレットペーパーの芯を放置する確率を数学的に求めてみた

研究目的

変数を定義する

まず、職場全体の人数を

人とします。

ただし、全員が同じように行動するとは限りません。

そこで、以下の確率を定義します。

記号	意味
P1	職場における「気が利かない人」の存在率
1 - P1	気が利く人の存在率
P2	ある観測期間中に、その人物がトイレを利用する確率
P3	その利用によって、ちょうどトイレットペーパー残量が0になる確率
P4	気が利く人であっても、何らかの理由で交換を行わない確率

気が利かない人の場合

まず、「気が利かない人」を考えます。

その人がトイレを利用し、さらにその使用によって紙を使い切った場合、 交換せずそのまま立ち去るものとします。

したがって、

気が利く人でも交換しない場合がある

問題はここです。

気が利く人であっても、必ず交換するとは限りません。

考えられる理由として、

などがあります。

そこで、この「気が利くのに交換しない確率」を

とします。

気が利く人の割合は

なので、このグループが芯を放置する確率は、

となります。

芯放置確率を求める

以上の2種類を合計します。

1人の社員が、観測期間中にトイレットペーパーを使い切り、 そのまま芯を放置する確率を

とします。

すると、

となります。

社員がn人いたらどうなるのか

ここからが本題です。

社員が1人だけなら、芯を放置する確率は

です。

では、社員が

いたらどうなるでしょう。

1人も芯を放置しない確率は、

です。

したがって、少なくとも1人が芯を放置する確率は、

となります。

具体例を入れてみる

仮に次のような職場を考えます。

条件	仮定値
社員数 n	50人
気が利かない存在率 P1	0.20
観測期間中のトイレ利用確率 P2	0.80
使用時にちょうど紙を使い切る確率 P3	0.03
気が利く人でも交換しない確率 P4	0.10

すると1人あたりの芯放置確率は、

したがって、

約0.672％です。

一見すると大したことはありません。

しかし、社員が50人存在すると、

となり、単純化したこのモデルでは、観測期間中に少なくとも1件の放置が発生する確率は 約28.6％になります。

社員数をさらに増やしてみる

同じ条件で社員数だけ増加させたとします。

すると、

のとき、

なので、

となります。

数理モデルから導かれる解決策

放置確率は、

です。

この式から分かることがあります。

社員数

を小さくすれば、芯が放置される確率は下がります。

ではP1を下げればいいのでは？

人員削減以外にも、式を見ると改善方法があります。

気が利かない人の割合

を下げればいいのです。

責任の所在を明確にする方法

もう一つ問題があります。

芯が放置されていても、

という点です。

結論

今回の研究によって、1人の社員が芯を放置する確率は、

そして社員がn人いる職場で、少なくとも1件の芯放置が発生する確率は、

とモデル化できます。

さらに、

となるため、単純化した本モデルでは、人数の多い職場ほど芯放置問題が発生しやすいことになります。